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Das Assoziativgesetz: Ein Schlüsselkonzept in der Mathematik

Hast du dich schon einmal gefragt, wie Mathematiker so effizient mit Zahlen jonglieren? Ein Teil des Geheimnisses liegt im Assoziativgesetz. Dieses Gesetz ist eines der Grundprinzipien der Algebra und hilft dir, mathematische Ausdrücke einfacher zu verstehen und zu lösen. In diesem Artikel entdecken wir gemeinsam, was das Assoziativgesetz ist und warum es so wichtig ist.

Was ist das Assoziativgesetz? 

Das Assoziativgesetz, auch Verknüpfungsgesetz genannt, besagt, dass bei der Addition und Multiplikation die Reihenfolge der Verknüpfung (also das Zusammenfassen) von Zahlen keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Wichtig zu beachten ist, dass dieses Gesetz bei der Subtraktion und Division nicht gilt!

Beispiele und Anwendungen im Alltag:

Beispiel 1 - Addition: Stell dir vor, du kaufst Äpfel. Am Montag kaufst du 3 Äpfel, am Dienstag 5 und am Mittwoch 2. Das Assoziativgesetz sagt aus, dass es egal ist, ob du zuerst die Äpfel von Montag und Dienstag zusammenrechnest und dann die von Mittwoch hinzufügst (3 + 5) + 2 = 8 + 2 = 10, oder ob du die Äpfel von Dienstag und Mittwoch zusammenzählst und dann die von Montag hinzufügst 3 + (5 + 2) = 3 + 7 = 10. In beiden Fällen hast du insgesamt 10 Äpfel.

Beispiel 2 - Multiplikation: Nehmen wir an, du hast 2 Packungen mit jeweils 3 Schokoladentafeln und jede Tafel enthält 4 Stücke. Hier kannst du das Assoziativgesetz anwenden, um schnell zu berechnen, wie viele Schokoladenstücke du insgesamt hast. Es spielt keine Rolle, ob du zuerst die Anzahl der Tafeln in einer Packung mit der Anzahl der Stücke pro Tafel multiplizierst und dann mit der Anzahl der Packungen (2 * 3) * 4 = 6 * 4 = 24, oder ob du zuerst die Anzahl der Packungen mit der Anzahl der Stücke pro Tafel multiplizierst und dann mit der Anzahl der Tafeln pro Packung 2 * (3 * 4) = 2 * 12 = 24. Das Ergebnis ist in beiden Fällen 24 Schokoladenstücke.

Beispiel 3 - Division/Subtraktion (Nichtanwendung): Es ist wichtig zu verstehen, dass das Assoziativgesetz bei der Division und Subtraktion nicht anwendbar ist. Wenn du beispielsweise 10 Euro hast und erst 5 Euro und dann weitere 2 Euro ausgibst, hast du am Ende (10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3 Euro übrig. Aber wenn du zuerst 5 Euro ausgibst und dann 2 Euro zurückbekommst, hast du 10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7 Euro. Die Reihenfolge der Operationen ist hier also entscheidend.

Übungsaufgaben:

  1. Berechne: (7 + 9) + 4 und 7 + (9 + 4)
  2. Berechne: (6 * 5) * 2 und 6 * (5 * 2)
  3. Berechne: (12 - 5) - 3 und 12 - (5 - 3)

Gesetze in der Mathematik

In der Mathematik gibt es neben dem Assoziativgesetz noch andere fundamentale Gesetze, die für das Verständnis algebraischer Operationen entscheidend sind. Eines dieser Gesetze ist das Kommutativgesetz.

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Zahlen bei der Addition oder Multiplikation keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.

  • Beispiel (Addition): 3 + 5 = 5 + 3
  • Beispiel (Multiplikation): 2 * 4 = 4 * 2

Ein weiteres wichtiges Gesetz in der Mathematik ist das Distributivgesetz.

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz stellt eine Verbindung zwischen Addition und Multiplikation her. Es besagt, dass das Produkt einer Zahl mit einer Summe gleich der Summe der Produkte jeder addierten Zahl mit dieser Zahl ist.

  • Beispiel: 3 * (4 + 5) = 3 * 4 + 3 * 5

Diese Gesetze spielen eine zentrale Rolle im Bereich der Algebra und finden sowohl in der reinen als auch in der angewandten Mathematik Anwendung. Sie sind nicht nur für das Lösen von Gleichungen wichtig, sondern helfen auch dabei, mathematische Beziehungen und Strukturen besser zu verstehen.

Lösungen:

  1. (7 + 9) + 4 = 16 + 4 = 20 und 7 + (9 + 4) = 7 + 13 = 20
  2. (6 * 5) * 2 = 30 * 2 = 60 und 6 * (5 * 2) = 6 * 10 = 60
  3. (12 - 5) - 3 = 7 - 3 = 4 und 12 - (5 - 3) = 12 - 2 = 10

Fazit

Das Assoziativgesetz ist ein nützliches und einfaches Werkzeug, das dir hilft, mathematische Probleme schneller zu lösen und auch im Alltag bessere Entscheidungen zu treffen, besonders beim Einkaufen oder Planen. Es ist wichtig zu erkennen, wo es anwendbar ist (Addition und Multiplikation) und wo nicht (Subtraktion und Division). Mit diesem Wissen bist du auf dem besten Weg, ein Mathematik-Ass zu werden!

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